MATH (28) 썸네일형 리스트형 [개인 공부] - Navier-Stokes Equation 보호되어 있는 글입니다. [Topology 정리3] - Continuous and metric topology *Topology (위상수학)에 대해서 정리한 글입니다. *두서가 없을 수도 있고, 위상수학을 복습한다는 마음으로 정리했습니다! *입문하시는 분들께 도움이 되었으면..ㅎㅎ Contents 1. Continuous 2. Homeomorphism - Pasting Lemma - Constructing continuous functions - Homeomorphism funny example 3. Metric topology - Metric - Diameter - Standard bounded metric & Uniform metric - Euclidean metric and Square metric are the same in product topology R^n - Uniformly Converges Co.. [Topology 정리2] - Closed, Closure and Hausdorff *Topology (위상수학)에 대해서 정리한 글입니다. *두서가 없을 수도 있고, 위상수학을 복습한다는 마음으로 정리했습니다! *입문하시는 분들께 도움이 되었으면..ㅎㅎ Contents 1. Closed 2. Closure 3. Hausdorff - Various theorems Closed Closed 개념은 매우 간단하다. 어떤 임의의 Open subset A가 있다면, Topology X에 대해서 X-A는 closed이다. 즉, Open의 반대는 closed이다. Closed set의 정의는 위와 같다. 1) 공집합과 자기 자신(X)는 closed. 2) 무한한 closed set의 교집합은 closed이다. 3) 유한한 closed set의 합집합은 closed이다. 위의 2), 3)번 정의는 .. [Topology 정리1] - Open, basis and topology spaces *Topology (위상수학)에 대해서 정리한 글입니다. *두서가 없을 수도 있고, 위상수학을 복습한다는 마음으로 정리했습니다! *입문하시는 분들께 도움이 되었으면..ㅎㅎ Contents 0. Introduction 1. Open의 위상적 정의 - Topology with open - Finer and coarser - Basis 정의 - Topologist on R 2. Topologies - Order topology - Product topology - Subspace topology Introduction 위의 이미지는 위상수학하면 떠오르는 가장 대표적인 예시가 아닐까 싶다. Cup과 도넛은 왜 위상적으로 같은가? 아마 많은 사람들은 '구멍이 1개이기 때문입니다`라는 답을 할 것이다. 아주 명확하.. [VAE 논문 리뷰] - Auto-Encoding Variational Bayes *VAE 수학적 지식을 리뷰하기 글입니다! 궁금하신 점은 댓글로 남겨주세요! *(통계학, 확률론 지식이 있다고 가정합니다.) VAE paper: https://arxiv.org/pdf/1312.6114.pdf Contents 1. Simple Introduction 2. Mathematical Method - Intractable - Variation lower bound - Reparametrization trick Simple Introduction VAE는 컴퓨터 비전 분야에 한 획을 그은 방법론이다. 특히 image generation 분야에서는 엄청나다고 할 수 있다. 요즘은 VAE보다 훨씬 진보된 모델 diffusion이 자리를 아예 잡고 있어서 해당 논문을 이해하지 않는다면 최신 트렌드를 따.. Markov chain(마르코프 연쇄; markov process) Markov chain은 마르코프 연쇄, Markov process로 불린다. 이것은 이산시간 확률과정이라고 표현할 수 있다. (여기서 확률과정이라는 것은 어떤 사건이 발생할 확률이 변화하는 과정이다.) 마르코프 특성은 과거 상태에와 현재 상태가 있을 때, 미래 상태는 과거 상태와 독립적으로 현재 상태에 의해서 결정된다는 것이다. 상태 변이 확률은 어떤 상태에서 다음 단계의 상태로 변화할 때의 확률을 말한다. Complex eigenvalues - conjugation, linear transformation Complex eigenvalues에는 매우 특이한 성질이 있다. 1. Eigenvalues간의 conjugation이 있다. 2. Eigenvectors간의 conjugation이 있다. 따라서 하나의 eigenvalues, eigenvectors를 구한다면, 다른 eigenvalue, eigenvector를 구할 수 있다. C라는 matrix가 linear transformation 중 rotation을 하는 역할이라고 생각해보자. 이때 C=P-1AP라고 할 때, C는 eigenvalues = a - bi의 형태에서 a와 b로 이루어진 matrix 형태가 된다. 그리고 A와 C는 similar한 matrix이다. C의 모습과 eigenvalue의 크기에 따라서 Ax의 형태를 무한히 linear tra.. Diagonalization Diagonalization 1. A = PDP-1 로 표현되는 것을 말한다. 2. P는 invertible하고 linearly independent한 n개의 eigenvectors들이 columns에 위치한다. 3. D는 diagonal matrix로 diagonal term이 eigenvalues이다. The charateristics equation - similarity Similarity의 정의는 A = PBP-1로 표현되는 matrix A와 B가 서로 같은 eigenvalues를 가진다는 것이다. 이것을 바로 similar라고 표현한다. 단 eigenvectore가 같진 않다!! 5차 방정식 이상에서는 charateristics equation을 구하는 것이 매우나 어려운 일이라고 한다. 그렇기 때문에 eigenvalue를 구하고, eigenvalues를 가지고 charaterisrics eqution을 구하는 순서로 많이 진행된다고 하는데, 여기서 근사하게 eigenvalues를 구하는 algorithm이 QR이다. 수치해석학 부분에서 자세하게 배운다고 한다. Eigenvectors and Eigenvaules Eigenspace는 zero vector를 포함하고 있는 것이다. 따라서 zero vector가 안되는 eigenvector와는 다른개념이다! Triangular matrix의 경우, diagonal term이 eigenvalues이다. 왜냐하면, charateristics equation을 만들 때 그 형태가 nontrivial solution이어야 하기 때문이다. Cramer's Rule and Linear Transformation Cramer's Rule로 linear equation을 푸는 방법! 이걸 보고나서, 매우 놀랐던 기억이 난다..ㅎㅎ Cramer's Rule를 적용해서, Cofactor를 이용한 determinant 계산 방법이다. 시험문제에서 자주 나온다(?) 어떤 특정한 도형의 넓이를 구할 때, 간단히 determinats의 성질을 이용해서 바로 넓이를 계산할 수 있다. 이건 매우 유용한 것 같다. Linear Transformation을 이용하여서 변환된 도형의 넓이를 구하는 방식인데, 매우 간단하다. T(x)라는 transformation function에 이용되는 matrix A가 있다면 위와 같이 detAB로 표현이 되므로, detAB = (detA)(detB) = (detA)*(area of S)가 된다... Properties of Determinats 개인적으로 가장 중요한 성질이라고 생각하는 부분 중 하나다. Determinants를 구할 때, matrix A를 echelon form으로 만든 후, diagonal의 성질을 이용해서 구한 determinants와 A로 부터 바로 계산한 detA의 값이 같다는 성질!! 이전 1 2 3 다음
