*Topology (위상수학)에 대해서 정리한 글입니다.
*두서가 없을 수도 있고, 위상수학을 복습한다는 마음으로 정리했습니다!
*입문하시는 분들께 도움이 되었으면..ㅎㅎ
Contents
- Various theorems
Closed
Closed 개념은 매우 간단하다.
어떤 임의의 Open subset A가 있다면, Topology X에 대해서 X-A는 closed이다.
즉, Open의 반대는 closed이다.
Closed set의 정의는 위와 같다.
1) 공집합과 자기 자신(X)는 closed.
2) 무한한 closed set의 교집합은 closed이다.
3) 유한한 closed set의 합집합은 closed이다.
위의 2), 3)번 정의는 Open set과는 반대이다!
예를 들어 [-n, n]이라는 closed set이 실수집합 안에 정의되어 있다고 가정해보자.
1) 정수집합에 속한 n에 대하여, 무한한 closed set의 합집합을 만들자.
2) 그렇다면 (-infinite, +infinite)까지의 open set이 만들어진다!
신기하게도 Open이면서 Closed인 set이 있다! (위의 예제 참고)
Closure
Closure의 정의는 우리가 흔히 배우는 극한과 매우 유사하다.
정의대로 설명하면, A를 포함하는 closed set 중에서 가장 작은 closed set이라고 표현할 수 있다.
즉 어떠한 set A가 있을 때, 그것의 limit point까지 모두 포함하고 있는 set이 A의 closure이다.
Closure하면 같이 나오는 개념이 바로 점 x에 대한 neighborhood(nhbd)이다!
the nhbd of x라는 표현은 앞으로도 자주 볼 예정이니 꼭 기억하자!
해당 개념은 매우 재미있다. 극한에서 활용하는 eplison-delta 정의를 떠올리면 더 쉬울지도 모른다.
1) A의 closure안에 속하는 x가 있다고 하자.
2) 또한, 모든 Open set U (또는 basis)가 x를 포함하면서 항상 A와 intersection된다고 하자.
=> 그렇다면 U는 x의 nhbd이다.
더욱 재미있는 점은 closed set은 closure와 같다는 사실이다! (너무나 trivial)
Hausdorff
오늘 글의 가장 하이라이트! Hausdorff space이다.
Hausdorff space는 두 개의 open set을 임의로 잡았을 때, 무조건 disjoint할 수 있어야 한다.
위상수학에서 Hausdorff라는 조건은 문제를 해결하고 다가갈 때 매우 유용하게 해준다! (중요!!)
Hausdorff는 재미있는 특징을 가지고 있다!
바로 모든 finite point set이 closed라는 것이다!
이는 증명에서와 보는 것과 같이, discrete point가 hausdorff space안에서 closed임을 보이면 해결된다! (closed 특징 때문에)
또한 hausdorff space X에서 sequence을 정의할 때 그 sequence는 무조건 one point로 수렴한다!
(마치, bolzano-weierstrass 정리와 비슷한 느낌? 아닌가? ㅎㅎ)
Order topology는 전부 hausdorff space이다! (그렇기 때문에, R도 hausdorff space!!)
그리고, hausdorff space의 product space는 hausdorff space이다! (왜그럴까? 증명해보세요! ㅎㅎ)
Topology 정리3: https://kyujinpy.tistory.com/119
[Topology 정리3] - Continuous and metric topology
kyujinpy.tistory.com
다음 글에서는, continuous와 metric topology에 대해서 살펴보겠습니다!
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Topology | James Munkres - 교보문고
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