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Linear Algebra

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The inverse of a matrix - Invertible, nonsingular, singular * 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다. 수업에서 들을 땐, 이 부분이 잘 이해가 안되서 외우는 형식으로 문제를 풀곤 했는데, 복습을 하니 명확하게 이해가 되었다. (Elementary row operations을 왜 하지? 이게 따로 필요한 개념인가? 싶었다) 이 개념은, 뒤에서 나올 LU Factorization에도 매우 유용하다. I라는 identity matrix를 이용해서 표현하는 것인데, A라는 matrix에 수행한 연산을 여러 matrix의 곱으로 표현할 수 있다는 것이 가장 큰 이점이다. 이것이 왜 이점이냐!! 위의 예제를 보면, elementary row operations을 수행하면서 나온 여러 E1, ... ,Ep의 matrix들은 ..
Matrix operations * 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다.
The matrix of Linear Transformation * 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다. T가 만약 one-to-one transformation이면, T(x)=0은 trivial solution을 갖는다. 왜냐하면 one-to-one이기 때문에, Rm에 mapping되는 Rn의 좌표는 한개씩 가지게 된다. 따라서, T(x) = 0인 x는 exactly one solution이다. T가 onto이면 standard matrix A의 column은 span Rm이다. onto라는 것은, Rn에서 Rm으로 mapping 될 때, Rm의 원소는 최소 한개 이상의 Rn의 원소와 mapping이 된다. 즉 trivial solution을 가지는 것이 아니라, nontrivial solution을 가지게 되는 ..
Introduction to Linear Transformation * 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다. Image: T(x) Range: 치역 Domain: 정의역 Codomain: 공역 Linear Transformation의 중요한 특징!!! 1. T(u+v) = T(u) + T(v) 2. T(cu) = cT(u) 를 만족해야 한다.
Linear Independence - Independent, Dependent * 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다. Theorem 7. Characterization of Linearly Dependent Sets 2개 이상의 vector가 linearly dependent라면, 적어도 하나의 벡터는 다른 벡터들의 linear combination으로 표현된다. U, V라는 vector가 linear independent이고, W in Span{U, V}이면, {U, V, W}는 linear dependent이다.
Solutions Sets of Linear Algebra - homogeneous, nonhomogenous * 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다. Nonhomogeneous systems의 solution은 Particular solution과 Homogeneous solution으로 표현이 가능하다. Ax = b의 solution을 p라고 하고, Ax = 0의 solution을 Vh라고 하자. 이때 Ap = b가 되고, AVh = 0이다. Matrix의 성질에 의해서, A(p + Vh) = Ap + AVh = b + 0 = b가 된다. ∴ p는 Particular solution, Vh는 homogeneous solution이다.
Matrix Equation Ax=b * 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다.
Vector equations - Span * 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다. Span{v1, ..., vp}는 v1, ..., vp로 표현할 수 있는 vector들의 집합을 나타내는 기호이다.
Row Reduction and Echelon forms - Pivot, Echelon form, Existence and Uniquenss Theorem * 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다. Echelon form 1. Zero-row vector 위에는 반드시 하나 이상 값이 있어야 한다. 2. 행의 각각 leading entry는 위의 행을 기준으로 오른쪽에 위치해야 한다. Reduced Echelon form (Echelon form 조건에 +α) 3. 모든 leading entry가 1이다. 4. leading entry가 있는 column은, leading entry를 제외하고 전부 0이어야 한다. Theorem2. Existence and Uniqueness Theorm 1. Augmented matrix에서 echelon form을 만들 었을 때, 맨 마지막 row에서 맨 마지막 colu..
Systems of Linear Equations - Inconsistent, Consistent, Elementary row operations * 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다. Linear Equation은 위의 3가지 경우 중 한가지를 반드시 갖는다. (*그 외의 케이스는 없음.) 1. Inconsistent: Matrix가 No solutions일 때를 의미한다. 2. Consistent: Exatly One solutions 3. Infinitly many solutions
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