The matrix of Linear Transformation

* 본 글은 선형대수학 복습을 상기시키기 위한 글로, 설명이 매우 부족할(?) 수 있습니다.

A가 이렇게 표현된다니.. 정말 신기하다.

Transformation에 따른 A matrix 적용 방법

onto와 one-to-one 개념

T가 만약 one-to-one transformation이면, T(x)=0은 trivial solution을 갖는다.

왜냐하면 one-to-one이기 때문에, R^m에 mapping되는 Rⁿ의 좌표는 한개씩 가지게 된다.

따라서, T(x) = 0인 x는 exactly one solution이다.

T가 onto이면 standard matrix A의 column은 span Rm이다.

• onto라는 것은, Rⁿ에서 R^m으로 mapping 될 때, R^m의 원소는 최소 한개 이상의 Rⁿ의 원소와 mapping이 된다.
• 즉 trivial solution을 가지는 것이 아니라, nontrivial solution을 가지게 되는 것이고, 이는 Ax = b라는 equation에서 A가 linearly dependent를 가지게 한다.
• A가 linearly dependent라면, A의 column들은 다른 vector들의 linear combination으로 표현 가능하게 된다.
• ∴  A의 column은 Span R^m이다.

T가 one-to-one이면 linearly independent이다.